統計学のまとめ - 基礎編

2021-05-31

基礎統計量

平均値(mean)

算術平均(arithmetric mean)

\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

母平均(母集団の平均値, population mean)を特に $\mu$ とする。

偏差 (deviation)

各データの平均値との差のこと。

分散(variance, 標本分散)

分布の広がり。ばらつきが大きいほど大きな値になる。

\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2

求め方は、偏差を二乗して全部足して、サンプル数で割る。

母分散(population variance)を特に $\sigma^2$ とする。

標準偏差(standard deviation)

分散の正の平方根。 $\sigma$ 。

分散は単位が元の二乗になってしまい、足したり引いたり比べたりができないが、標準偏差はできる。

\sigma = \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 }

変動係数 (coefficient of variation)

標準偏差を平均で割ったもの。

CV = \frac{\sigma}{\overline{x}}

単位をもたないので、単位の異なるデータ同士のばらつき具合を比較するのに使える。(比例尺度の場合に有効。)

統計WEB 変動係数

推定

母数 (parameter)

母平均や母分散など母集団の統計量で、統計で推定したい未知の値。

不偏分散 (unbiased estimate of variance)

母分散の不偏な推定量。

s^2 = \frac {1} {n - 1} \sum_{i = 1}^n {(x_i - \overline{x})^2}

標本分散は一致推定量だが、不偏推定量ではなく、nが大きくない場合は期待値が母分散より小さくなる。

そこで、標本分散に $\displaystyle\frac{n}{n-1}$ をかけることで、不偏性にしたもの。

一致性(consistency)とは、サンプルサイズが大きくなるほど推定量が母数に近づく性質。

不偏性(unbiasedness)とは、サンプルサイズに依らず、推定量の期待値が母数に一致する性質。

相関係数 (correlation coefficient)

r_{xy} = \frac { \displaystyle \sum_{i = 1}^n (x_i - \overline{x}) (y_i - \overline{y}) } { \sqrt{ \displaystyle \sum_{i = 1}^n (x_i - \overline{x})^2} \sqrt{ \displaystyle \sum_{i = 1}^n (y_i - \overline{y})^2} }

分子は、サンプル毎に $x$ と $y$ の偏差(平均値との差)同士をかけたものの合計。

$x$ と $y$ の偏差の符号が同じである、つまり、散布図で右上か左下に多くデータが有れば、正の相関になります。

分母は、偏差の二乗の合計の平方根をかけたもので、これにより範囲が $-1 \leq r \leq 1$ となります。

上と同義ですが、分子・分母を $n$ で割ると、分子は共分散、分母はそれぞれの標準偏差の積となっていることがわかります。

r_{xy} = \frac { {\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n (x_i - \overline{x}) (y_i - \overline{y}) }{n} } } { \sqrt{\displaystyle \frac{ {\displaystyle \sum_{i = 1}^n (x_i - \overline{x})^2}}{n}} \sqrt{\displaystyle \frac{ {\displaystyle \sum_{i = 1}^n (y_i - \overline{y})^2}}{n}} } = \frac{s_{xy}}{s_xs_y}

相関係数の絶対値の一般的な解釈は、このような感じのようです。

0.1未満は無相関
0.3未満は弱い相関
0.7未満は中程度の相関
それ以上は強い相関

この相関係数はピアソンの積率相関係数(Pearson product-moment correlation coefficient)という。

また、2変数に見かけ上は相関関係があっても、その間に交絡因子があるかもしれないので注意。

参考

BellCurve 統計WEB

https://bellcurve.jp/statistics/

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統計学のまとめ - 基礎編

目次

基礎統計量

平均値(mean)

偏差 (deviation)

分散(variance, 標本分散)

標準偏差(standard deviation)

変動係数 (coefficient of variation)

推定

母数 (parameter)

不偏分散 (unbiased estimate of variance)

相関係数 (correlation coefficient)

参考

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Penta

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